Поиск: 
Расширенный поиск | Последние запросы
FREE-REFERATS.ru

Банк бесплатных рефератов

Бесплатные рефераты > Темы > Математика > Реферат "Вычисление определителя методом Гауса"

Рефераты по Математика - "Вычисление определителя методом Гауса"

Страница: 1 2
Вычисление определителя методом Гауса
Скачать реферат "Вычисление определителя методом Гауса"
Содержание


ВЫЧИСЛЕНИЕ  ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ МЕТОДОМ  ГАУССА С ВЫБОРОМ ГЛАВНОГО ЭЛЕМЕНТА.





Одновременно с решением системы линейных алгебраических уравнений

Image1

        можно вычислить определитель матрицы  А.

Пусть в процессе исключения найдено распожение  

Image2

т.е. построены матрицы  L и U . Тогда

Image3

и, таким образом, произведение диагональных елементов матрицы L (ведущих, главных елементов метода исключения)  равно определителю матрицы РА. Поскольку матрицы РА и А отличаются только перестановкой строк, определитель матрицы РА может отличаться от определителей матрицы А только знаком.
А именно,    

Image4

Таким образом, для вычисления определителя  необходимо знать, сколько  перестановок было осуществлено в процессе сключения.

Если матрица А выроджена, то при использовании метод Гаусса  с выбором главного элемента  по столбцу на некотором шаге исключения К все элементы которого столбца, находящиеся ниже главной диагонали и на ней, окажутся  равными нулю.При этом дальнейшее исключение становится невозможным и программа должна выдать информацию о том, что определитель матрицы равен нулю.


ОБРАЩЕНИЕ  МАТРИЦ.

Нахождение  матрицы, обратной матрице А , еквивалентно решению матричного уравнения
   

Image5                                                               (1)
где Е - единичная  матрица, X - искомая квадратная матрица.

Уравнение (1) можно записать в виде системы  

Image6 уравнений    

   

Image7                                      (2)
где  

Image8
Можно заметить, что система (2) распадается на m независимых  систем уравнений с одной и той  же  матрицей А , но с различными правыми частями. Эти  системы  имеют
вид ( фиксируем j ) :
     

Image9                                     (3)
где

Image10 у вектора - столбца

Image11 равна единице  j-та  компонента и равны нулю остальные компоненты.
Например, для матрицы второго порядка система (2) распадается на две независимые системы:
     

Image12
Для решения систем (3) используется метод Гаусса ( обычный или с выбором главного элемента).
Рассмотрим применение  метода Гаусса без выбора главного элемента. Поскольку все системы (3)  имеют одну и ту же матрицу А , достаточно  один раз совершить прямой ход метода Гаусса, т.е. получить разложение  A=LU и запомнить матрицы  L  i U .
Обратный ход осуществляется путем решения систем уравнений      

Image13
с треугольными матрицами L  и U.
При осуществлении обратного хода можно сократить число действий, принимая во внимание специальный вид правых частей системы (4).

Запишем подробнее первые j-1 уравнений системы (4):

     

Image14
Учитывая  невырожденность матрицы L ( т.е.

Image15
отсюда получаем
     

Image16
При этом оставшиеся уравнения системы (4) имеют вид            

Image17

Отсюда последовательно находятся неизвестные

Image18

Страница: 1 2

© 2003-2016 Free-Referat.ru - Рефераты, Курсовые, Дипломы, Доклады, Шпаргалки
Notice: Undefined index: r in /home/bitrix/ext_www/free-referat.ru/index.php on line 264 Notice: Undefined index: in /home/bitrix/ext_www/free-referat.ru/index.php on line 264